# AcWing 854. Floyd 求最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式
共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤200,
1≤k≤n2
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例

impossible
1

# 题目描述

给定一个有 n 个点和 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，并且存在负权边。问题是让我们求任意两点间的最短距离。

# Floyd 思路

Floyd 使用动态规划的思想，能在 O (n^3) 的时间复杂度下求出任意两点间的最短路径，可以存在负权边，但是不能存在负权回路。

状态表示：d (k, i, j) 表示从 i 点开始，只经过 1~k 这些点，最后到达 j 的最小距离。

状态转移：d (k ,i, j) 可以由 d (k-1, i, k) + d (k-1, k, j) 转换而来。表示的含义是只经过 1~k-1 这些点，并且从 i 到 k 再从 k 到 j。我们发现第一维 k 只能从 k-1 转换而来，因此可以忽略，所以有转移方程：d (i, j)=d (i, k)+d (k, j)。

首先 k 表示枚举出的所有顶点，那么从 i 到 j 只能存在两种情况：

1、直接就从 i 到 j；

2、从 i 先到 k 再到 j；

那么我们枚举出所有的顶点 k，判断从 i 到 k 再到 j 是否比 i 直接到 j 距离更短，即检查 d (i，k) + d (k，j)＜d (i，j) 是否成立。如果成立就更新 d (i, j)。

如此，当所有的顶点 k 都被枚举过之后，d 中存储的就是任意两点间的最短距离。

# Code

import sys

n, M, K = map(int, input().split())

d = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 每一条边自己到自己的距离都是 0

for i in range(1, n + 1):

    d[i][i] = 0

for _ in range(M):

    x, y, z = map(int, list(sys.stdin.readline().strip().split()))

    # 如果出现重边的话要取最短的一条

    d[x][y] = min(d[x][y], z)

# Floyd 最关键的地方，外层循环是 k。

for k in range(1, n + 1):

    for i in range(1, n + 1):

        for j in range(1, n + 1):

            d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])

for _ in range(K):

    x, y = map(int, list(sys.stdin.readline().strip().split()))

    print('impossible' if d[x][y] == float('inf') else d[x][y]